fristlose Kündigung vom Vermieter

Meine alleinerziehende Tochter bekam im Mai 2017 durch die Arge eine 100 %ige Sanktion. Die Grund war
die Aufnahme einer Beschäftigung auf 450,00 €-Basis im Februar 2017 bei einer Systemgastronomiekette. Die ihr im Vorfeld von der Arge auferlegte Maßnahme (Schnupperkurs als Fachkraft für Lagerlogistik) konnte sie somit nicht mehr zu 100 Prozent besuchen. Alles war jedoch mit der Arge und dem Bildungsträger abgesprochen.
Nachdem der Arbeitgeber weder das unterzeichnete Exemplar des Arbeitsvertrages noch die Lohnbescheinigungen aushändigte, kürzte die Arge die Zahlungen zunächst um 30 % , dann um 70% und dann komplett. Die bisher von der Arge an den Vermieter geleisteten Mietzahlungen wurden ebenfalls gekürzt. Durch die Arge nicht übernommene Betriebskostennachzahlungen (meine Tochter hatte bisher monatlich 80 € in Raten gezahlt) kamen noch hinzu, so dass zum Schluss 3 Monatsmieten komplett waren.
Gegen die Sanktion legte sie rechtzeitig Widerspruch ein, der jedoch nicht bearbeitet wurde und sie somit zum
30.06.2017 die fristlose Kündigung durch den Vermieter bekam. Mit dieser Kündigung ging sie zur Arge und stieß dort auf taube Ohren. Ihr wurde gesagt, sie solle sich Geld leihen und Raten an den Vermieter zahlen.
Da die Kündigung aufrechterhalten wurde, sah sie sich nach einer neuen Wohnung um, da sie und ihr 3 jähriges Kind von Obdachlosikeit bedroht sind. Sie fand eine Wohnung, die sogar ca. 100,00 € günstiger ist im Nachbarort, die Vermieterin ist über die Geschehnisse informiert und möchte die Wohnung zum 01.08.2017 an meine Tochter vermieten.
Meine Tochter reichte also ein Mietangebot bei der Arge ein und bat um Zustimmung. Heute kam Post von der Arge. Man teilte meiner Tochter mit, das dem Antrag noch nicht stattgegeben wird. Sie solle zur Abwendung der fristlosen Kündigung eine Ratenzahlung für die aufgelaufenen Schulden mit dem Vermieter vereinbaren, dann müsse sie nicht umziehen.
Meine Tochter möchte jedoch umziehen, da sie jetzt schon monatlich zusätzliche Zahlungen an den Vermieter leisten muss, da die Arge die erhöhten Betriebskosten auch nicht zahlt.

Ich bitte um Rat, eventuell hatte jemand bereits ähnliche Erfahrungen

Im Voraus besten Dank

Schriftliche Aufzeichnungen über die Jobaufnahme und die Einwilligung des Bildungsträgers gibt es nicht. Die Information seitens meiner Tochter an den Bildungsträger und die Arge erfolgte persönlich und wurde mündlich abgesegnet.
Der ursprüngliche Grund für die Sanktion waren ja die fehlenden Unterlagen des Arbeitgebers bezüglich Arbeitsvertrag und Lohnbescheinigung. Nachdem der Arbeitgeber unsere Tochter entgegen den Vereinbarungen ständig am Wochenende und in Nachtschichten zum Dienst einteilte war sie gezwungen, den Job zu kündigen. (Ich hatte sie übrigens vorgewarnt da ich vorher wusste, dass das passieren wird)
Daraufhin war der AG stur und rückte die Unterlagen wochenlang nicht raus.
Die Anfragen der Arge wurden jedesmal schriftlich von meiner Tochter beantwortet mit der Bitte um etwas Geduld.
6 Wochen nach Eingang des Widerspruches zur Sanktion bekam meine Tochter die Antwort, sie möge bitte nachweisen, weshalb sie der Maßnahme im Zeitraum 10.02.17-16.02.17 ferngeblieben ist. Darum ging es in der Sanktion gar nicht. Das teilte unsere Tochter der Arge dann auch mit, erklärte jedoch auch wahrheitsgemäß, dass sie von der Leiterin des Maßnahmeträgers mündlich freigestellt wurde um die Formalitäten für die Arbeitsaufnahme zu klären.