Umzug in andere Stadt - Vermögensverhältnisse der Lebensgefährtin

Hallo, ich bin neu hier und habe folgendes Anliegen:

Ich beziehe Hartz IV und lebte bislang in der Eigentumswohnung meiner Mutter, habe kein Wohngeld bezogen.

Nun benötigt meine Mutter diese Wohnung selbst und ich möchte zu meiner Lebensgefährtin in eine andere Stadt ziehen. Wie gehe ich am sinnvollsten vor? Muss ich das zuerst dem Amt melden oder muss ich mich zuerst ummelden? Muss meine Lebensgefährtin ihre Vermögens- und Einkommensverhältnisse an irgendeiner Stelle offenlegen? Sie ist berufstätig, Hauseigentümerin und hat Mieteinkünfte. Was muss ich beachten, damit keinem von uns aus diesem Umzug Nachteile erwachsen? Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!

Mein Ziel ist, wieder Arbeit zu finden. Bis dahin möchte ich bestenfalls mit ALG 2 bei meiner Freundin leben.

Also Reihenfolge:

Ummeldung beim Einwohnermeldeamt

Nachricht an altes JC (mit Ummeldebescheinigung?)

Hartz IV Antrag beim neuen JC (mit Bescheinigung vom alten?)

Umzugskosten müssen nicht finanziert werden, aber vielleicht kann ich es doch als WG deklarieren, wenn ich ein eigenes Zimmer nachweisen kann und den Umstand, dass wir jeweils für uns selbst wirtschaften?