Frage 1 hat sich doch erledigt, wenn du den WBA schon gestellt hast (Frage 2). Wenn Unterlagen fehlen, wird sich das JC schon melden. Wenn du einen Job bekommst, wird das JC prüfen, ob dir noch aufstockend zum Lohn ALG 2 zusteht. Verdienst du genug, musst du natürlich selbst die Miete bezahlen. Verdienst du zu wenig, wird es weiter ALG 2 geben, nur halt weniger, da du ja selbst noch was verdienst.
Was du mit dem potentiellen Arbeitgeber bezgl. der Fälligkeit des Lohns vereinbarst, ist erstmal eure Angelegenheit. Korrekt ist, dass es im SGB II nach dem Zufluss geht. Kommt also z. B. der erste Lohn am 30.9.21 und du hast für September bereits ALG 2 enthalten, wird man dich auffordern, dies ganz oder teilweise (je nachdem, ob dir trotz Lohn noch ALG 2 zusteht oder nicht) zurückzuzahlen.